ゲオルク カントール

ゲオルク カントール

Add: ybudobe13 - Date: 2020-11-23 08:32:37 - Views: 2538 - Clicks: 4981

年月 (年齢) 出来事: 1845年 (0才) 3月3日、ロシアのペテルブルクに生まれる。. あとは書かなくても分かりますよね、はい。 このようにあの表からどの集合を引っ張り出してきても、Sequence 0とは合わない元が必ず1個あるんですよお。Sequence 0は今つくった実数の集合には絶対見つかりっこないはぐれ者なのです。よって全実数の集合をつくることも、それを自然数に一対一対応させることも不可能という結論になります。つまりアレフゼロよりさらに大きい。これがみなさま、世に言う「連続体(continuum)」なるものでございますよ。 連続体とは全実数の集合に与えられた呼び名というわけですが、実のところアレフゼロよりどんくらい無限なんでしょうね? ゲオルグ・カントールが知る限り、自然数の集合の濃度と実数の集合の濃度の間の濃度を持つ集合はひとつも存在しなかったようです。換言すると自然数がアレフゼロなら、全実数はアレフワン、ということになります。 この「可算濃度と連続体濃度の間には他の濃度が存在しない」という仮説は1877年に初めて提示され、やがて「連続体仮説(continuum hypothesis)」という名がつきます。. アレフ・アレフゼロ。 いやいや、まだまだこんなのゲオルク・カントールの唱える絶対無限に比べりゃまだほんの序の口ですよ。絶対無限とは、集合理論の枠内で表現し得るものすべてを超越する無限のことを指すのであります。かく言うカントール自. · ゲオルク・フェルディナント・ルートヴィッヒ・フィリップ・カントール (1845年3月3日~1918年1月6日). (カントールのたいかくせんろんぽう)は、数学における証明テクニック (背理法)の一つ。 1891年にゲオルク・カントールによって非可算濃度を持つ集合の存在を示 した論文の中で用いられたのが最初だとされている。. と言われても何が何だか頭が破裂寸前だと思うので、実際の例を使って説明しましょう。 えーと例えば集合3を1, 2, 3として、そのべき集合が知りたいとしますよね? べき集合には存在し得るすべての部分集合が含まれるって話ですから、3要素の集合 1, 2, 3、2要素の集合1, 2、1, 3、2, 3、1要素の集合1、2、3とあとはゼロ要素の集合で、計8つの部分集合が含まれることに。つまり3のべき集合には2^3(2の3乗)個の部分集合があるんですね。まあ、3に限らず、どんな任意の数Nでやってもべき集合には2^N(2のN乗)個の元が含まれるんです。 カントールの斜めの理論(あそこまでストレートにいかないところが何かを物語っているけどね)と同じ基礎ロジックを応用すると、任意の元Xのべき集合の濃度は常に、X個の元を持つ集合より大きいことを示すことは可能.

パワーセット、日本語で言う「べき集合(power sets)」ってやつです。 任意の数Nのべき集合とは集合Nの部分集合すべての集合を指す. mixiゲオルグ・カントール ゲオルク カントール 「無限」 に魅入られた天才数学者たち Amazon. 現代数学の公理的体系の基礎は、カントールが切り開いた集合論にあります。この意味で言えば、カントール無くして現在の数学の発展は無かったといっても過言ではありません。 ノーベル賞を受賞した論理学者バートランド・ラッセルは、若き頃、カントールの論文に触れて、次のように語ったと言われています。 「私はカントールの議論の要点をノートに書きだしてみたのだが、その論理は無茶苦茶で誤りだらけだと思った。ところが、その細部を地道に確認、検証した結果、間違っていたのは全て自分の論理だったことに気づいた。」.

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典 - カントルの用語解説 - 生1845. と自然数と対応させられる集合のことを指す、というんですね。数えるのに無限に時間がかかるとしても元を数えることは可能、そんな集合のことを可算集合と言うのです。 自然数の集合より遥かに大きいにも関わらず全有理数の集合が可算なことは先ほど確かめた通りです。上の表であらわしたように、無限= 無限^2(2乗)なんですね。数を足したり、掛けたり、2乗にしたところで無限には絶対到達し得ないのと全く同じで、アレフゼロに同じこと(加算・積算・乗算)をやったところでさらに大きなレベルの無限には絶対到達し得ないのです。 ゲオルク カントール そんなわけでアレフワンという無限の次段階に抜けるには、我々は数えられないほど無限な何かを探さなきゃなりません。. という実数、先ほどつくった実数の集合に絶対含まれてると思います? Sequence 1じゃないことは確かですよね、だって最初の元が合わない(ひっくり返した)から。 Sequence 2でもありません、だって2番目の元が合わないから。Sequence 3でもありません、だって3番目の元が合わないから。Seque. とたちまち大騒ぎになります。 カントールがすごいのは、これすべて集合論という、煮ても焼いても食えない感じの古代の数学の一学派の理論をベースに、そこに自分なりの考察を加えて発展させた、というところ。穴だらけでも気づきを形に残した古代人も素晴らしいけど。それは喩えて言うなら手押し車から惑星間移動エンジンを開発するにも等しい、数学分野における途方もない偉業でした。. Sequence 5 = (1, 1, 0, 0, 1. といった具合に。こうしてSequence 1の1番目の元から斜め下に降りていけば、斜め線が通る数字がもうひとつの集合を成し、数字1個1個がその元になります。これでできた(1, 0, 0, 0, 1. でも無限ってこの2つだけなの? もっと先まで這い登ればアレフツー、アレフスリー、アレフフォ~.

1 連続体仮説4. カントールの対角線論法 カントールの対角線論法の概要 ナビゲーションに移動検索に移動目次1 対角線論法1. Georg Cantor was born in 1845 in the western merchant colony of Saint Petersburg, Russia, and brought up in the city until he was eleven. と、まさか延々と広がってたりしないですよね? もっと先まで進むことは. ゲオルク・カントールが 19世紀末に考案しました. Sequence 3 = (0, 1, 0, 1, 0.

などなどこれを永久にやるわけですな。ここで考えなきゃならない問題は、「こうした数列を無限個作ったらそれで実数を全部網羅したことになるのか?」ということ。ならないことを証明するには、今つくった無限個あるSequenceのどこにも定義上絶対当てはまらない実数を作らなきゃなりません。 そこで「どれいっちょ作ったるか!」とカントールがやったのは想像の斜め上をいく技でした。 カントールはまず各Sequence(数列)を、どれかひとつ特定の元に関連付けてみたんですね。Sequence 1は1だから1番目の元(1)、Sequence 2は2だから2番目の元(0)、Sequence 3は3番目の元(0). )を仮にSequence Diagonal(斜め数列)と呼ぶことにし. ハレドイツの数学者。無限集合論の創始者,解析学,位相数学,数理論理学への貢献者として知られている。チューリヒ,ベルリン,ゲッティンゲンで教育を受ける (1863~66) 。 1867年,整数論の. まあ、しょうがないですよね、有限数に1足したら必ずそれより大きな数になるのは間違いないんだし。でもそれと同じ理屈がアレフ・ゼロにも通用するのかな? 試しに先ほどの集合からツナサンドイッチを拝借して全自然数の集合に加え、これをアレフゼロ 1の集合としましょう。 わかります、これものすごくヘンな結論で、とても直感ですんなりとは受け難いですよね? 当のゲオルク・カントール自身も超限数算術を語る中で、「見えるのに、信じられない」という有名な言葉を残していますし。 さて、ここから先はもっとヘンになってゆきますよ。いいですか、ここで質問です。偶数の自然数の集合と全自然数の集合とではどちらが大きいでしょう? 我々の頭は有限なので「偶数と奇数を全部足せば、偶数を全部足した数の倍に決まってるじゃん」って思っちゃいますよね。でもちょこっと一対一対応をやると分かることだけど、集合論の上ではこのふたつは全くイコールなんです。無限に2を掛けたところで答えはやっぱし無限なんでございますよ。. 「数は集合(set)にグループ分けできる」―以上おしまい。もっと平たく言うと「物事は集合にグループ分けできる」という言い方もできます。 例えば、1、2、3、4を1,2,3,4という集合にまとめ、集合Aと呼ぶとします。文字D、ツナサンドイッチ、トーマス・ハーディの小説、海王星をD、ツナサンドイッチ、トーマス・ハーディの小説、海王星という集合にまとめ、こちらは集合Bと呼ぶとします。 なんてことないですよね? ところがどっこい、ここまできたら無限の正体を暴く大きな気づきまであと数歩なんですよ! 試しに上記2つの集合を比べてみることにしましょう. ですよね。よって全実数の集合 ―アレフワン― を例にとると、アレフワンのべき集合の濃度の方がそれより大きいことになります。つまり全実数の集合(アレフワン)のべき集合は最低でもアレフツーなんですね。 そしてこれは永久に続けていくことが可能です。アレフツーのべき集合はアレフスリー、アレフスリーのべき集合はアレフフォー、アレフフォーの. これが世に言う「一対一対応(one-to-one correspondence)」。この手法を使えば、どんな集合でも2つ比べることができます。元の数を数えるまでもなくね。 この最後のところで「おっと~無限の戸口まできたな.

学校や職場で「厳密に定義しろ」とか「曖昧な言い方をするな」とかいったお叱りを受けることがありますよね。しかし、厳密に正確に曖昧さを排除して物を語り伝えるには、どうすればいいのでしょうか。 私達が思うのと同じように、カントールも悩み続けたことでしょう。そして、たどり着いたのが集合論だったのです。. 初期の集合論を築いたのは、ロシアの数学者であるゲオルク・カントール(Georg Cantor)とドイツの数学者であるリヒャルト・デデキント(Richard Dedekind)、さらには彼らに続くイタリアの数学者であるジュゼッペ・ペアノ(Giuseppe Peano)等であるが、デデキントの1872年の著作「数について」に. Koehler Set Theoryby by Karel Hrbacek and Thomas Jech Cantor&39;s Diagonal Proof Hotel Infinityby Nancy Casey *日本語の参考URLのおすすめがあればぜひ教えてね。 Top image via Shutterstock; infinity image by Sven Geier. の後に、無限大の集合2/1, 2/2, 2/3, 2/4, 2/5.

jp から 「無限」 とは、読んで字のごとく、限りがないということだ。 「永遠に続く」 「大きい」 「果てしない」 など、それぞれに抽象的なイメージを持って、違和感なく使っている言葉の1つであろう. Sequence 4 = (1, 0, 1, 0, 1. 師であるクロネッカーの研究方針と相容れないことから、容赦ない攻撃を受けつづけたカントール。その結果、精神の病まで患ってしまいました。 天才によくありがちな、生きている間は不遇の連続であったというようなエピソードです。しかし、マイナス面ばかりでもなかったはずです。 クロネッカーからの攻撃を受けることで、より完璧で説得力のある証明を目指さざるをえなかったことが、彼の論文、著作の完成度と先見性を高めることに寄与した部分もあったはずです。 自由に解き放たれて努力をしている自覚もないまま開花する才能があります。また逆に、カントールのように、辛い状況で圧迫を受けながらもしっかり自分の花を咲かせる才能もあります。どちらかです。同時に成立することは「集合論」的にいって不可能なのかも知れません。. Republished from com Alasdair Wilkins(原文/satomi).

ゲオルク・カントール(Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor)、1918年1月6日、心不全にて没、 享年73歳。 ゲオルク・カントール ゲオルク カントール は、中途半端に革命的な数学者である。 ギリシア時代に既に議論となった、無限大、無限小、連続の問題に関する、. 父は カトリック 教徒のゲオルク・ボルデマー・カントール (Georg Woldemar Cantor)、母は音楽家の家系のマリア・アンナ (Maria Anna) である。. Infinity is for Children---And Mathematicians! ゲオルク・カントールによるフーリエ級数の研究において、実直線上の級数がよく振る舞わない点を調べる過程で集合の概念が取り出された。 彼はやがて有理数や代数的数のなす集合が 可算 であるという結果を得て、それを リヒャルト・デーデキント と. 大きいのは集合Aと集合B、どっちでしょ? 1個1個の元(term、要素とも。集合内のアイテムのこと)を比べてる間はこれは全く馬鹿げた質問に聞こえるかもしれませんよね、だってトーマス・ハーディの小説と数字の3では比べようがないですから! ここで大事なポイントはサイズを比べるんですから、個別のアイテムを見るんじゃなく、元の数を見なきゃダメだってこと。そう思って見直すと、どちらも元は4個ありますから、サイズは同じ、ということがわかります。ふむ。 ただし今「4個」と答えたみなさんはその結論に飛びつく前に、どのようにしてその答えを導き出したか今一度よーーーく考えてみてください。たぶん大体の人は各集合の元をただ数えて比べただけなのでは? そんなの基本の基本。当たり前過ぎて考えるまでもないことですよね~。 でも仮にみなさんが数のことを全く知らなくて数え方も知らなかったとしたら.

死没: 1918 年 1 月 6 日 ドイツのハレ (Halle, Germany).. . という言われようからも、当時どれだけ見下されていたかが容易に想像できるというものですね。 ロシア生まれ、ドイツ育ちのカントールは、無限の性質を定義するのみならず、無限が複数存在し、ある無限は他の無限より大きいという証明まで提示してのけ、世をアッと驚かせ、一体なんなんだそれは!. 3/1, 3/2, 3/3, 3/4, 3/5. 2 関数による表現1. ゲオルク・カントールはドイツの数学者である。 フーリエ級数の研究をするうち実数の持つ無限性に踏み込み、やがて最初期の集合論を提唱した人物。 概要 ゲオルク カントール 無限大の間の大小を論. Sequence 1 = (1, 1, 1, 1, 1.

1 集合による表現1. daybeforeyesterday, ”わぁいゲオルク・カントール、あかりゲオルク・カントール大好き” / otihateten3510, ”数学” / daybeforeyesterday, ”わぁいクロネッカーの執拗な人格攻撃で精神を病んだカントール、あかりクロネッカーの執拗な人格攻撃で精神を病んだカントール大好き(要出展)”. 5/1, 5/2, 5/3, 5/4, 5/5.

See full list ゲオルク カントール on gizmodo. カントールは1845年にロシアのサンクトペテルブルクで生まれます。父は敬虔なルーテル教徒であり、その影響でカントールも深い信仰心をもつようになったと言われています。 1856年にカントール一家はドイツに移住することになるのですが、ここから彼の数学研究が始まります。 1862年にチューリッヒ科学技術専門学校に入学後、ベルリン大学に移りワイエルシュトラス、クンマー、クロネッカーらの講義を受ける機会に恵まれます。 1868年には数論に関する学位論文でベルリン大学の博士号を授与され、翌年ハレ大学で教授職を得ます。ハレ大学では長年の同僚となるハイネと出会うのですが、カントールは彼の助言でフーリエ級数の一意性問題に取り組むようになります。 この問題はディリクレ、リーマンらのそうそうたる面々ですら解決に成功していないものだったのですが、彼は1870年4月にフーリエ級数の表現一意性を証明し、数学界に名をとどろかせることとなります。 1872年にはデデキントと親交を結び、同年、2人は各々独立に有理数、無理数、実数の定義に関する論文を発表します。 順調に思えるカントールの経歴ですが、ベルリン大学の師でもあったクロネッカーがカントールの研究に真っ向から反対していたことから、イジメとも思えるような仕打ちを受けることとなり、この頃から彼は心を病むようになってしまいます。 1873年には有理数は自然数と1対1に対応させることができる(可算である)ことを証明します。翌年には実数ではそれが不可能なこと(非可算であること)を証明しますが、心を病むに至ったことと同じ理由により、その論文を大っぴらに発表することをしませんでした。 その後カントールは、写像の概念に着想を得て、集合論の基礎付けに取り組むこととなります。1879年から1884年にかけ、集合論に関する一連の論文を発表しますが、従来の数学が扱ったことの無い先進性と、記号論理学とも関係するような難解さのため、この論文は周囲から散々な反対意見、悪評を浴びせられてしまいます。 同じ頃、自らが提唱した連続体仮説の証明にも取り組んでいますが、証明に成功したと思ったら、その欠陥に気づいて証明を取り下げる、再び成功、再び欠陥に気づいて取り下げるということを繰り返し、袋小路におちいったようになってしまいます。 ゲオルク カントール そのようなこともあって、彼はさらに心を病み神経. ゲオルク・カントール 出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 ゲオルク・フェルディナント・ルートヴィッヒ・フィリップ・カントール ( Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, 1845年 3月3日 - 1918年 1月6日 )は、 ドイツ で活躍した 数学者 。.

Cantor, the oldest of six children, was regarded as ゲオルク カントール an outstanding violinist. ゲオルク・フェルディナント・ルートヴィッヒ・フィリップ・カントール(Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, 1845年 3月3日 - 1918年 1月6日)は、ドイツで活躍した数学者。. この斜め数列の1と0を全部ひっくり返してできる数列、つまり(0, 1, 1, 1, 0. 3.カントール革命以後ゲオルグ・カントール(1845年から1918年)「素朴集合論の確立者。自然数と実数の間に全単射が存在しないことを対角線論法によって示す一方、RとRnの間に全単射が存在することを証明した。連続体仮説に興味を持ち研究を続けたが、存命中に成果は得られなかった。連続. カントールの対角線論法(カントールのたいかくせんろんぽう)は、数学における証明テクニック(背理法)の一つ。 1891年に ゲオルク・カントール によって非可算濃度を持つ集合の存在を示した論文 1 の中で用いられたのが最初だとされている。. ゲオルク・カントール ゲオルク・フェルディナント・ルートヴィッヒ・フィリップ・カントール ( Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, 1845年 3月3日 - 1918年 1月6日 )は、 ドイツ ゲオルク カントール で活躍した 数学者 。.

More ゲオルク カントール images. 。 で、ここがまた実にヘンなところなんですが、べき集合をこしらえる操作はこのように永久回続けられるので最終的にはアレフ・インフィニティに行き着いちゃうんです。というか、もっと正確に言うと. ゲオルク・カントール ゲオルク・フェルディナント・ルートヴィッヒ・フィリップ・カントール ( Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, 1845年 3月3日 - 1918年 1月6日 )は、 ドイツ で活躍した 数学者 。. そうした中、ゲオルク・カントールが打ち立てた集合の概念を使って、数学界を「再編」しようとする動きが強まっていった。 ゲオルク カントール 次のページ 床屋. ゲオルク・カントール(1845-1918年)は、現代数学を記述する上で欠くことのできない集合論の基礎を確立したドイツの数学者です。 ゼノンのパラドックスに代表されるように、古代ギリシャ以来人々の直感と相容れない姿を見せてきた無限。 カントールは、フーリエ級数を研究する中で、この無限という概念の曖昧性に気づき、自ら開拓した集合論を武器として、闇に包まれた無限のベールを一枚また一枚とはぎ取っていきました。 彼があみだした対角線論法という証明法は、その論理展開の鮮やかさで彼の名前とともに後世の人々に語り継がれています。. があって、そのまた後に無限大の集合3/1, 3/2, 3/3, 3/4, ゲオルク カントール 3/5. という具合に置いてゆき、行も列も無限になるまでこれを続けるんですね。 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5. ゲオルク・フェルディナント・ルートヴィッヒ・フィリップ・カントール ( Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, 1845年 3月3日 - 1918年 1月6日 )は、 ドイツ で活躍した 数学者 。.

を仮にSequence 0とします。これも先般確認したように実数ですよね。有限あるいは無限の桁で成り立つ数字であればどんな数でも実数なので。でも、この0. 3 行列による表現2 自然数の集合と0, 1区間の濃度の違い3 カントールの定理3. See full list on jishukukan. Então assim como Georg Cantor disse, a recursividade continua para sempre. さて、ここからが本当の難問です。全有理数の集合は、どうでしょう? 有理数とは2つの整数の分数であらわせる数のこと。分母も分子も無限にあるわけですから、ここで言ってるのは元の数が無限大の集合1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5. ゲオルク・カントール辞書日本語の翻訳 - フランス語 Glosbe、オンライン辞書、無料で。すべての言語でmilionsの単語やフレーズを参照。. カントールの対角線論法 (カントールのたいかくせんろんぽう)は、数学における証明テクニック(背理法)の一つ。1 1891年に ゲオルク・カントール によって非可算濃度を持つ集合の存在を示した論文 の中で用いられたのが最初だとされている。.

Sequence 2 = (0, 0, 0, 0, 0. というのが無限回続いたらどうなるか、という話ですね。つまり無限の集合を無限回集めたらどうなるのか? アレフ・ゼロより大きな無限数があるとすれば、きっとこれがその糸口になるはず、ですよね? 全自然数と全有理数の一対一対応は1を分子に使えば可能だけど、それでも対応させなきゃならない数は無限にあるんだし、尚且つ分子2以上の数の集合も無限に残ってしまいますから。 もちろんこの2つを一対一対応させる方法は、あります。やり方を説明するためには、簡単な表を作らないといけません。 分子が1の全有理数は最初の行に置き、分子が2ものは次の行. ゲオルク カントール 最初にこれを証明した ドイツ 人 数学者 ゲオルク・カントール (Georg Cantor) にちなむ。. どうでしょう? どうやってこの2つの集合を比べます? コレものすごくヘンな質問に聞こえるかもだけど、集合論を面白くパワフルなものにしているのは、まさにこうして他の数学と完全に切り離せるところに秘密の一端があるんですよ。そんなわけでここでは、数えないで集合を比べる方法を探さなきゃなりません。. 数えられないほど無限の集合とはなんなのか? これにゲオルク・カントールはこれ以上ないほど見事な解釈を示しました。 最もよく知られている非可算集合は全実数の集合です。つまり全自然数と全有理数と全無理数(2の平方根など)と超越数(π の値、eの値など)を含む集合のこと。因みに無理数と超越数は表現可能なことは可能だけど、小数点以下に数が無限に続く数でしか表現できませんよね。 さて説明は単純な方がいいので、ここではどの桁も0か1しかない二進記数法(binary number system)で考えてみましょうか。二進法の実数を桁ごとに拾い、それを元として並べたSequence(数列)を作るとします。並べ方はどうでもOKなので、まあ、ここではこんな感じに作ってみましょうかね. トーマス・カントール:ゲオルク・クリストフ・ビラー Prof. 」と察しのいい人はもう勘づかれたかもね。そう、ここまではわざと4までの数え方も知らないアホのフリこいてきたわけですが、にっちもさっちも数えようがない無限の元の集合だったら、どうでしょう? この無限の元の集合としてよく引き合いに出される例が自然数、つまり負の整数以外の整数をゼロ(訳註:集合論ではゼロも入る)から全部集めた数の集合です。 集合内の元の数のことを数学の用語で「濃度(Cardinality)」と呼びます。集合Aと集合Bはどっちも濃度が4ですが、全自然数の集合の濃度は無限です。ただしこれも語弊があって、無限は無限でも最も小さいタイプの無限「アレフゼロ(aleph-null、aleph-zero)」なのでございますよ。 じゃあ、なんでこの無限は他の無限より小さいの? これを理解するには唐突ではございますが、超限数の算術をちょいと引っ張り出さねばなりません。.

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